Statistik · Interaktives Lernlabor

Der Zentrale
Grenzwertsatz

Egal wie schief, wie bimodal, wie seltsam die Grundgesamtheit ist – der Mittelwert vieler Stichproben wird immer normalverteilt. Probier es selbst aus.

X̄ₙ → N(μ, σ²/n)    für n→∞
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Emp. Mittelwert x̄
—
Theorie μ: —
Emp. Std.-Abw.
—
Theorie σ/√n: —
Stichproben
0
von —
Normalität (KS-Test)
—
—
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Grundverteilung
Stichprobengröße n 5
Anzahl Stichproben 500
Animationstempo mittel
Bereit
Grundgesamtheit
—
Verteilung der Stichprobenmittelwerte x̄
— Normalverteilung überlagert
Was passiert hier?
In jeder Runde ziehen wir zufällig 5 Werte aus der gewählten Verteilung und berechnen deren Mittelwert. Dieser Mittelwert wird als ein Balken ins Histogramm eingetragen. Je mehr Stichproben wir ziehen, desto klarer sieht man: Die Mittelwerte folgen einer Normalverteilung – unabhängig davon, wie die Ausgangsdaten verteilt sind.
Hintergrundwissen
01

Was ist x̄?

x̄ (x-quer) ist der arithmetische Mittelwert einer Stichprobe. Wenn wir n Werte ziehen und mitteln, erhalten wir einen einzigen Wert. Ziehen wir das viele Male, entsteht eine Verteilung dieser Mittelwerte.

02

Was bedeutet n?

Je größer n (Stichprobengröße), desto enger und glockenkurviger wird die x̄-Verteilung. Das zeigt der Term σ/√n: Größeres n → kleinere Streuung. Schon ab n≈30 ist die Annäherung an die Normalverteilung sehr gut.

03

Warum funktioniert das?

Der ZGS ist eines der fundamentalsten Theoreme der Statistik. Er erklärt, warum die Normalverteilung in der Natur so häufig auftritt – viele Phänomene sind Summen vieler kleiner, unabhängiger Einflüsse.